المنطق - الباب الأول| مراحل وضع المقدمات

المنطق - الباب الأول| مراحل وضع المقدمات




أولاً : مراحل وضع المقدمات

أ – التعريفات " المعرفات " :
إن أول خطوة يقوم بها عالم الرياضة هى تعريف المصطلحات والمفاهيم الرياضية التى ينوى استخدامها حتى لا يحدث أى لبس أو غموض ولكل نسق من أنساق الرياضيات أو لكل عالم تعريفاته الخاصة به – فمن حق عالم الرياضة أن يعرف المصطلحات بما شاء من معانى دون أن يناقشه أحد ولكن بشرط أن يلتزم بها طوال النسق ولا يغيرها إلا إذا نبهنا . ومثال تعريفات إقليدس.




النقطة:
ما ليس لها طول ولا عرض . لذلك تعتبر تعريفات إشتراطية أى أن عالم الرياضة يشترط علينا لكى نتمكن من متابعته أن نفهم المصطلحات بالمعنى الذي يحدده .

تعريف آخر: هي ألفاظ يعرفها علم الرياضة تعريفات اشتراطيه يلتزم بها ولا يغيرها إلا إذابنهنا

ب – اللامعرفات :
هي ألفاظ واضحة بذاتها لا تقبل التعريف و يستخدمها عالم الرياضة فى تعريف مفاهيم أخرى لذلك فهي أساس التعريفات الرياضية فنحن نعرف لفظ بأخر حتى نصل إلى حدود أولى لا تقبل التعريف نسميها بالا معرفات.

مثل: الطول والعرض وحتى لا نظل نعرف لفظا بأخر إلى ما لا نهاية .

تعريف آخر: ألفاظ يتركها العالم بدون تعريف لأنها واضحة بذاتها يستخدمها فى تعريف ألفاظ أخرى حتى لا تصل التعريفات لما لا نهاية .

ج – البديهيات :

هناك قضايا وحقائق لا تصلك ألا أن تسلم بها ولا تحتاج لبرهان سواء كان عقلي أو تجريبي – هذه الحقائق تعرف باسم البديهيات . لكن لماذا نسلم بها دون برهان ؟ هنا اختلف العلماء قديما وحديثا .

المعنـى التقليدي البديهية المعنـى الجديد البديهية
في المنطق القديم والرياضة

التقليدية
اعتبروا البديهية بسيطة يقبلها العقل بدون تردد وتسلم بها دون أن تبرهن عليها مثل بديهيات إقليدس الكل أكبر من الجزء – الأشياء المتطابقة متساوية ..... إلخ



لذلك كانوا يعتبرونها الفكرة الواضحة بذاتها ولا تحتاج لبرهان .

وقد اختلف العلماء حول هذا التعريف لأنه يعتمد على الوضوح الذاتي وهو أمر نسبى يختلف من فرد لأخر ومن زمان لأخر – فقد يبدوا في ألماضي غير واضح ولكن من الممكن أن يكون في أيامنا هذا واضحا تمام و قد يكون واضحا لإنسان وغامضا بالنسبة لأخر .

في المنطق الوضعي والرياضة الحديثة

اعتبر البديهية قضية تسلم بها دون البرهنة عليها ولكن لأن علم أسبق وأعم قد أثبتها وقام بتوضيحها لذلك فالبديهية حديثاً لا تنتمى لنفس العلم بل يستعيرها من علم أخر أعم وأسبق فمثلا علم الحساب أسبق من الهندسة لذلك فقضايا الحساب تعتبر بديهيات فى الهندسة .



وهذا التعريف يعتبر أفضل من الأول الذي يعتمد على الوضوح الذاتي الذي رفضه أغلب العلماء واختلفوا فيه وترتب العلوم حسب عمومتها كما في الشكل .

الـمصادرات " الـمسلمات "
هى مجرد افتراض يفترضه العالم الرياض على مستوى علمه ويسلم به دون البرهنة عليه ليس لأنها واضحه بذاتها مثل البديهية ، لكن ليتخذها أساسا للبرهنة على غيرها من القضايا " النظريات الرياضية " .

مثلما افترض إقليدس " ان المكان سطح مستوى " فهو لا يريد البرهنة على أنه مستوى أم لا لكنه يريد أن يثبت أن زوايا المثلث القائم = 180 ْ فليس المهم إثبات صحتها ولكن المهم ما يترتب عليها من نتائج ونظريات . كذلك ليس من المهم أن تطابق المصادرة الواقع لأنها افتراض .

قضايا بدون يرهان ليس لوضحها الذاتى ليستخدمها فى برهنة قضايا أخرى حتى لا تصل المبرهنات لما لا نهاية .


المنطق - الباب الأول| مراحل وضع المقدمات

للمصادرة عدة شروط :
1 – أن تكون متسقة : أي غير متناقضة مع باقي النسق لأن العلوم الرياضية قائمة على عدم التناقض وإلا أصبحت النظريات خاطئة .
2 – أن تكون كافية : لكي نبرهن بواسطتها على جميع نظريات النسق " مكتملة " .
3 – أن تكون مستقلة : أى ليست من مسلمة أخرى وإلا كانت نظرية وليست افتراض و لا تكون حشو زائد داخل النظرية .



ومن أمثلة المصادرة :
الخطآن المستقيمان إذا تلاقا فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة .
مثال : " ريمان " عندما افترض أن المكان سطح دائري .
( لوباشوفسكى ) افترض أنه إسطوانى .

الفرق بين البديهية والمصادرة

البديهية المصادرة
من وجهة النظر التقليدية
البديهية قضية واضحة بذاتها لا تحتاج برهان وصدقها يقيني . فى المصادرة هي قضية مفترض صدقها دون برهان لأنها مجرد افتراض تستخدمه لإثبات قضايا أخرى .

من وجهة النظر الحديثة
البديهية لا تنتمي لنفس العلم المستخدمة فيه بل نستعيرها من علم عم أو أسبق. المصادرة تنتمي لنفس العلم ولكنها تركت تركت بدون برهان .

فى الوقت الحاضر :
لا فرق بينهما ولا يوجد امتياز لواحدة عن الأخرى لأن كلاهما مسلمات أى قضايا تسلم بها دون برهان وكلاهما يؤدوا دورهما داخل النسق الواحد .

ثانياً : مراحل استنباط النظريات " المبرهنات "
هى المرحلة التى يتم خلالها إتمام البناء الرياضى- فبعد أن وضع الرياضى مقدماته من تعريفات – بديهيات- مصادرات يبدأ فى استنباط النتيجة أو النظرية لذلك فان صدق النظريات يتوقف على صدق المقدمات فصدق النظرية مرهون بصدق المقدمات التى تلزم عنها لزوماً منطقياً .



مثال : المكان سطح مستوى .
- والبرهان على صدق النظرية يتم ردها إلى مقدماتها هى وليست أى مقدمات أخرى أو علم أخر سواء بطريقة مباشرة يردها إلى المقدمات أو غير مباشرة " أى مستند فى برهنته على نظريات أخرى وصدق النظرية أيضاً يتوقف على إتباع قواعد الاستنباط وأهمها :-

1 - قاعدة الاستدلال " إثبات المقدم " :
تسمى بقاعدة الإثبات لو أثبتنا صدق المقدم ( المقدمات ) لابد أن نسلم بصدق التالى ( النتيجة مثل القضية الشرطية المتصلة ) مثال : إذا أثبتنا ان مثلثين يتساويان فى زاويتين ويشتركان فى ضلع استطعنا أن نقرر تطابقهما .

2- قاعدة الوصل " التقرير "
إذا تم البرهنة على نظريتين كلاً منهما على حدى فإنه يمكن جمع الإثنين معاً ويمكن ان يكونا نظرية جديدة مستقلة – أى ان وصل أى نظريتين صحيحتين معاً يمكن نظريته جديدة .